"Κάποιοι δεν μπορούν να πουν την αλήθεια, άλλοι δεν μπορούν να πουν ψέματα, αλλά κανείς απ' ότι φαίνεται δεν ξέρει τη διαφορά."
Φανταστείτε ότι φτιάχνετε ένα πρόγραμμα για υπολογιστή στο οποίο περιλαμβάνετε την ακόλουθη πρόταση:"Αυτή η πρόταση είναι ψευδής".Ύστερα ρωτάτε τον υπολογιστή να σας απαντήσει αν η προηγούμενη πρόταση είναι σωστή ή λάθος.Αν ο υπολογιστής απαντήσει 'σωστό', τότε η πρόταση είναι ψευδής. Αν απαντήσει 'λάθος', τότε η πρόταση είναι αληθής.Ο υπολογιστής θα πέσει σ' έναν ατέρμονο βρόγχο (loop), από τον οποίο δεν θα καταφέρει να βγει παρά μόνο με black- out! Το προηγούμενο παράδοξο ονομάζεται 'παράδοξο του ψεύτη' (liar paradox). Σαν κάποιος (εικόνα ) να μας λέει με .... απόλυτη ειλικρίνεια: 'Μην πιστεύεις τίποτε απ' ό,τι σου λέω!'.
Υπάρχουν παραλλαγές του παραδόξου όπως οι προτάσεις: 'Η προηγούμενη πρόταση είναι σωστή', 'η επόμενη είναι λάθος', κοκ. Η βασική αρχή πάντως που παραβιάζεται σε κάθε περίπτωση είναι η συνέπεια (consistency). Κάθε λογική μας πρόταση θα πρέπει να χαρακτηρίζεται από συνέπεια. Αυτό σημαίνει ότι δεν μπορεί να είναι ταυτόχρονα σωστή και λάθος, συντακτικά και νοηματικά. Αυτή είναι και η βασική αρχή της επαγωγικής λογικής. Αυτό θα μπορούσε κάποιος αμέσως να σκεφτεί στην προηγούμενη ερώτηση: "Ποια ερώτηση;". Θα χρειαζόταν δηλαδή κάποια επιπλέον πρόταση, η οποία δεν περιέχεται στην προηγούμενη πρότασή μας.
Ο Gödel ήταν αυτός που επεξέτεινε το παραπάνω παράδοξο για να δείξει ότι δεν μπορεί να κατασκευαστεί ποτέ μια 'τέλεια μηχανή της αλήθειας', γιατί ακριβώς δε θα μπορούσε να απαντήσει αν η πρόταση: "Δεν θα πεις ποτέ ότι αυτή η πρόταση είναι αληθής", είναι αληθής ή ψευδής. Κατάφερε μάλιστα να μαθηματικοποιήσει το παραπάνω παράδοξο, στο θεώρημα της μη πληρότητας, το οποίο απλά λέει ότι σε κάθε σύστημα υπάρχει πάντοτε μία παραδοχή η οποία είναι αληθής, αλλά που δεν μπορεί να αποδειχθεί μέσα από το σύστημα. Σε συντομία, για κάθε θεωρία Τ υπάρχει η αντίστοιχη πρόταση G που λέει "Η πρόταση G δεν
